Cox-Ross-Rubinstein-Modell Börsenlexikon Vorheriger Begriff: Binomialmodell Nächster Begriff: Order Cycle Time

Cox-Ross-Rubinstein-Modell ist ein spezielles Binomialmodell zur Bewertung von Optionen, das von John C. Cox, Stephen A. Ross und Mark Rubinstein entwickelt wurde. Es stellt eine konkrete Ausprägung des allgemeinen Binomialmodells dar und zeichnet sich durch eine systematische und konsistente Herleitung der möglichen Preisbewegungen des Basiswerts aus. Das Modell gehört zu den zentralen Methoden der Optionspreistheorie und wird sowohl in der Praxis als auch in der Ausbildung häufig verwendet.

Grundidee des Cox-Ross-Rubinstein-Modells

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell basiert auf der Annahme, dass sich der Preis eines Basiswerts in diskreten Zeitschritten entwickelt und in jedem Schritt entweder steigt oder fällt. Diese Entwicklung wird über die gesamte Laufzeit der Option hinweg in Form eines Binomialbaums dargestellt.

Im Unterschied zu allgemeinen Binomialmodellen definiert das Cox-Ross-Rubinstein-Modell die Auf- und Abwärtsbewegungen sowie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten nach klaren, konsistenten Regeln. Dadurch wird sichergestellt, dass das Modell keine Arbitragemöglichkeiten zulässt und mit grundlegenden finanzwirtschaftlichen Prinzipien übereinstimmt.

Aufbau des Modells

Das Modell zerlegt die Laufzeit der Option in eine bestimmte Anzahl von gleich langen Zeitintervallen. In jedem Intervall kann sich der Preis des Basiswerts auf genau zwei Arten verändern:

1. Der Preis steigt um einen bestimmten Faktor.

2. Der Preis fällt um einen bestimmten Faktor.

Diese Faktoren werden so gewählt, dass sie die erwartete Schwankungsintensität des Basiswerts widerspiegeln. Gleichzeitig wird eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit bestimmt, mit der die jeweiligen Bewegungen eintreten.

Am Ende der Laufzeit ergibt sich eine Vielzahl möglicher Endpreise des Basiswerts. Für jeden dieser Endpunkte wird der Wert der Option bestimmt.

Rückwärtsbewertung

Die eigentliche Bewertung erfolgt durch eine Rückrechnung vom Ende der Laufzeit zum Ausgangspunkt. Für jeden Knoten im Binomialbaum wird ein erwarteter zukünftiger Optionswert berechnet, der die möglichen Preisentwicklungen berücksichtigt.

Dieser Wert wird anschließend auf den aktuellen Zeitpunkt bezogen. Auf diese Weise entsteht Schritt für Schritt der theoretische Optionspreis zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses.

Dieses Verfahren stellt sicher, dass die Bewertung konsistent ist und auf nachvollziehbaren Annahmen basiert.

Risikoneutrale Bewertung

Ein zentrales Merkmal des Cox-Ross-Rubinstein-Modells ist die Verwendung der sogenannten risikoneutralen Bewertung. Dabei wird angenommen, dass alle Marktteilnehmer risikoneutral handeln und nur die erwarteten Zahlungsströme relevant sind.

In diesem Rahmen wird eine künstliche Wahrscheinlichkeit definiert, die nicht die tatsächliche Eintrittswahrscheinlichkeit widerspiegelt, sondern eine konsistente Bewertung ermöglicht. Diese risikoneutrale Wahrscheinlichkeit sorgt dafür, dass die erwarteten Erträge des Basiswerts dem allgemeinen Zinsniveau entsprechen.

Durch diesen Ansatz wird die Bewertung unabhängig von individuellen Risikopräferenzen und ermöglicht eine einheitliche Preisbestimmung.

Berücksichtigung unterschiedlicher Optionsarten

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell ist vielseitig einsetzbar und kann sowohl für europäische als auch für amerikanische Optionen verwendet werden.

Bei europäischen Optionen erfolgt die Bewertung ausschließlich auf Grundlage des Endwerts am Verfallstag. Bei amerikanischen Optionen wird zusätzlich an jedem Knoten geprüft, ob eine vorzeitige Ausübung wirtschaftlich sinnvoll ist. Dadurch kann die zusätzliche Flexibilität dieser Optionen im Modell berücksichtigt werden.

Diese Eigenschaft macht das Modell besonders praktisch für die Bewertung realer Finanzinstrumente.

Zusammenhang zum Black-Scholes-Modell

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell steht in engem Zusammenhang mit dem Black-Scholes-Modell. Wenn die Anzahl der Zeitschritte im Binomialbaum sehr groß wird, nähert sich das Ergebnis des Cox-Ross-Rubinstein-Modells dem Ergebnis des Black-Scholes-Modells an.

Das Modell kann somit als diskrete Annäherung an kontinuierliche Bewertungsansätze verstanden werden. Es verbindet die Anschaulichkeit eines diskreten Modells mit der theoretischen Fundierung kontinuierlicher Modelle.

Vorteile des Modells

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell bietet mehrere Vorteile, die seine breite Anwendung erklären. Es ist vergleichsweise leicht verständlich und ermöglicht eine anschauliche Darstellung der Preisentwicklung. Gleichzeitig ist es flexibel genug, um unterschiedliche Optionen und Marktbedingungen abzubilden.

Ein weiterer Vorteil liegt in der Möglichkeit, vorzeitige Ausübungen zu berücksichtigen. Dies ist insbesondere für amerikanische Optionen von großer Bedeutung und stellt einen wesentlichen Unterschied zu einfacheren Bewertungsmodellen dar.

Darüber hinaus erlaubt das Modell eine schrittweise Verfeinerung. Durch die Erhöhung der Anzahl der Zeitintervalle kann die Genauigkeit der Bewertung verbessert werden.

Grenzen und Annahmen

Trotz seiner Vorteile basiert das Cox-Ross-Rubinstein-Modell auf vereinfachenden Annahmen. Dazu gehört insbesondere die Annahme konstanter Volatilität und stabiler Rahmenbedingungen. In der Realität können sich diese Faktoren im Zeitverlauf ändern.

Zudem stellt die Beschränkung auf zwei mögliche Preisbewegungen pro Zeitschritt eine Vereinfachung dar. Auch wenn sie mathematisch sinnvoll ist, bildet sie die tatsächliche Marktdynamik nur näherungsweise ab.

Ein weiterer Aspekt ist der steigende Rechenaufwand bei einer großen Anzahl von Zeitschritten. Zwar verbessert eine feinere Unterteilung die Genauigkeit, erhöht jedoch auch die Komplexität der Berechnung.

Bedeutung in der Praxis

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell ist ein grundlegendes Instrument der Optionsbewertung und wird in vielen Bereichen eingesetzt. Es dient als Lehrmodell, als Grundlage für numerische Verfahren und als praktisches Werkzeug für die Bewertung von Optionen.

In der Praxis wird es häufig in Situationen verwendet, in denen Flexibilität erforderlich ist oder komplexe Optionsbedingungen berücksichtigt werden müssen. Auch moderne Bewertungsverfahren bauen oft auf den Prinzipien dieses Modells auf.

Fazit

Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell ist ein bedeutendes Binomialmodell zur Bewertung von Optionen, das durch eine klare Struktur und konsistente Annahmen gekennzeichnet ist. Es ermöglicht die systematische Analyse möglicher Preisentwicklungen und deren Einfluss auf den Optionswert. Besonders hervorzuheben ist die Verwendung der risikoneutralen Bewertung sowie die Fähigkeit, unterschiedliche Optionsarten, einschließlich amerikanischer Optionen, abzubilden. Trotz vereinfachender Annahmen stellt das Modell ein zentrales Werkzeug für das Verständnis und die praktische Anwendung der Optionspreistheorie dar.